怎样追上乌龟

这本来是我大学时某个疯狂英语讲座上听到的故事,大意是说西方人是多么的会辩论,或者说是诡辩。故事大意如下:

你和乌龟赛跑,你在后面追它,你将永远追不上乌龟。为什么呢,因为你要追上乌龟,首先需要到达乌龟起始的那个点,比如叫它点A,等你到达点A的时候,乌龟当然同时也在跑,于是它跑到了点B;之后你需要到达点B,而同时乌龟却跑到了点C;而等你到达点C时,乌龟又到了点D…于是得出的结论是乌龟总在你前面的一个点,所以你永远也追不上乌龟。

当然这是不可能发生的,但上面这个解释听上去似乎又很有道理。不经意还真以为是诡辩。当然你可以用物理学的相对运动概念解释你可以追上乌龟,但却无法说明上面的那个解释究竟有什么问题。今天在网上偶然看到原来这故事源于所谓的“芝诺悖论”(Zeno’s paradoxes),是古希腊数学家Zeno提出的一个悖论,而且看wiki的介绍还是很重要经过无数讨论过并提出很多solutions的一个问题。这个悖论是说:"In a race, the quickest runner can never overtake the slowest, since the pursuer must first reach the point whence the pursued started, so that the slower must always hold a lead.” 意思与上面差不多,只不过具体例子变成了阿喀琉斯(Achilles,希腊英雄)在100码后面追乌龟。

wiki上说这个问题可以用微积分来解释。可惜介绍的不是太详细,我也没心情看那些公式。只知道这是个有关无限的问题。突然想到前两天看的一个等式: 0.999…=1 (9无限循环),也许这个问题可以用这个等式解释:因为追乌龟的人速度快于乌龟(像是废话),所以这个人每到达乌龟所在的前一个点和乌龟的距离是越来越短的,即假设原点是O,那么OA>AB>BC>CD…;因此从一个点跑到下一个点所花时间也是越来越少的。那么假设这个人从O跑到A所花的时间是0.9秒,A到B的时间是0.09秒,B到C的时间是0.009秒… 因此可以算出这个人追上乌龟所花的时间是:0.9+0.09+0.009+…=0.999…=1 (秒)。也就是说这个人花1秒的时间就追上乌龟了,而不是无限的时间。

无限世界的奇妙现象。这让我想起了小学还是初中时读到的很有意思的一本书,叫做《从一到无穷大》,不知现在还在不在家中。

PS. 国内似乎上不了wiki。上面0.999…=1的证明应该很多地方都有,一个简单的证法是,因为0.333…=1/3,所以3*0.333…=3*1/3,即0.999…=1。

下周就回国了,还是很期待的。这次还是在老板走了一个月后刚回来的时候走,顺利地衔接啊…

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3 Responses to 怎样追上乌龟

  1. TAO says:

    这个问题我也听说过,这是最原始的关于极限的讨论吧。

  2. says:

    Have a nice journey!

  3. 小西 says:

    T_T 走过来瞧瞧~~~~

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